Analisis de señales discretas en el tiempo: Transformada z.

Que es?
En las matemáticas y procesamiento de señales, la Transformada Z convierte una señal real o compleja definida en el dominio del tiempo discreto en una representación en el dominio de la frecuencia compleja.

El nombre de Transformada Z procede de la variable del dominio, al igual que se podría llamar "Transformada S" a la Transformada de Laplace. Un nombre más adecuado para la TZ podría haber sido "Transformada de Laurent", ya que está basada en la serie de Laurent. La TZ es a las señales de tiempo discreto lo mismo que Laplace a las señales de tiempo continuo.

La transformada Z, al igual que otras transformaciones integrales, puede ser definida como una transformada unilateral o bilateral.

Aplicaciones.

La Transformada Zeta es una aplicación entre un espacio de Sucesiones (funciones discretas) y un espacio de
Funciones Analíticas (desarrollables en serie de Laurent).
La función que los liga es la Serie de Laurent cuyos coeficientes son los elementos de la Sucesión de origen.
La importancia del modelo de la Transformada Zeta radica en que permite reducir Ecuaciones en Diferencias o
ecuaciones recursivas con coeficiente constantes a Ecuaciones Algebraicas lineales.

El modelo que se procesa resuelve en su esencia Ecuaciones en Diferencias donde se emplea la Transformada
Zeta.
Ecuaciones en diferencias se emplean también en economía , crecimiento de poblaciones, biología, etc. y en
problemas de la misma matemática.

APLICACIONES DE LA TRANSFORMADA ZETA: SISTEMAS TDLI

La Transformada Zeta es de particular aplicación sobre los Sistemas de Tiempo Discreto Lineales e Invariantes. (TDLI)

DEFINICIÓN DE LA TRANSFORMADA ZETA
Dada una sucesión { f[n] } se define como su Transformada Zeta a la serie de Laurent F(z)

Nótese que en la definición de Transformada Zeta
1.- En la presentación de la serie se empieza con las potencias positivas
2.- El centro del desarrollo de Laurent es a = 0

Un caso particular de esta definición es la llamada Transformada Zeta unilateral también llamada Causal que corresponde a las sucesiones que tienen todos los términos de la serie de potencias positivas nulos, es decir la serie sólo está compuesta por los términos de potencias negativas y el término independiente.
A la Transformada Zeta general se la denomina también como Transformada Zeta bilateral . La Transformada Zeta unilateral es la de mayor aplicación y es esencialmente similar a la general salvo detalles que se estudiarán por separado. Su utilidad mayor es análisis de los sistemas causales regidos por ecuaciones en diferencias y con condiciones iniciales ( es decir, aquellos que en su inicio no se encuentran en reposo).

Ejemplo

ROC muestra en azul, el circulo es un punto gris y el círculo $\left|z\right| = 0.5$ muestra del círculo.

Sea $x[n] = 0.5^n u[n]\$ (donde $u$ es la función escalón). Expandiendo $x[n]\$ en $(-\infty, \infty)\$ obtenemos

$x[n] = \{..., 0, 0, 0, 1, 0.5, 0.5^2, 0.5^3, ...\}\$

Siendo la suma

$\sum_{n=-\infty}^{\infty}x[n]z^{-n} = \sum_{n=0}^{\infty}0.5^nz^{-n} = \sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac{0.5}{z}\right)^n = \frac{1}{1 - 0.5z^{-1}}\$

La última igualdad se obtiene con la fórmula del sumatorio para series geométricas, y la igualdad sólo se conserva si $\left|0.5 z^{-1}\right| < 1\$ , lo cual puede ser reescrito para definir $z\$ de modo $\left|z\right| > 0.5\$ . Por lo tanto, la ROC es $\left|z\right| > 0.5\$ . En este caso la ROC es el plano complejo exterior al círculo de radio 0,5 con origen en el centro.

Ejemplo 3 (ROC anticausal)

ROC muestra en azul, el círculo unitario como un punto gris circular i el circulo exterior $\left|z\right| = 0.5$ muestra del círculo.

Sea $x[n] = -(0.5)^n u[-n-1]\$ (donde $u$ es la función escalón). Expandiendo $x[n]\$ entre $(-\infty, \infty)\$ obtenemos

$x[n] = \{..., -(0.5)^{-3}, -(0.5)^{-2}, -(0.5)^{-1}, 0, 0, 0, ...\}\$

Siendo la suma

$\sum_{n=-\infty}^{\infty}x[n]z^{-n} = -\sum_{n=-\infty}^{-1}0.5^nz^{-n} = -\sum_{n=-\infty}^{-1}\left(\frac{z}{0.5}\right)^{-n}\$

$= -\sum_{m=1}^{\infty}\left(\frac{z}{0.5}\right)^{m} = -\frac{0.5^{-1}z}{1 - 0.5^{-1}z} = \frac{z}{z - 0.5} = \frac{1}{1 - 0.5z^{-1}}\$

De nuevo, usando la fórmula de sumatorio para series geométricas, la iguadad sólo se mantiene si $\left|0.5^{-1}z\right| < 1\$ , de modo que podemos definir $z\$ como $\left|z\right| < 0.5\$ . Aquí, la ROC es $\left|z\right| < 0.5\$ , es decir, el interior de un círculo centrado en el origen de radio 0,5.

Tabla con los pares más habituales de la transformada Z

	Señal, $x (n)$	Transformada Z, $X (z)$	ROC
1	$\delta(n)\,$	$1\,$	$\mbox{todo }z\,$
2	$u(n)\,$	$\frac{1}{1-z^{-1}}$	$\|z\| > 1\,$
3	$a^n u(n)\,$	$\frac{1}{1-a z^{-1}}$	$\|z\| > \|a\|\,$
4	$n a^n u(n)\,$	$\frac{az^{-1} }{ (1-a z^{-1})^2 }$	$\|z\| > \|a\|\,$
5	$-a^n u(-n-1)\,$	$\frac{1}{1-a z^{-1}}$	$\|z\| < \|a\|\,$
6	$-n a^n u(-n-1)\,$	$\frac{az^{-1} }{ (1-a z^{-1})^2 }$	$\|z\| < \|a\|\,$
7	$\cos(\omega_0 n) u(n) \,$	$\frac{ 1- z^{-1}\cos(\omega_0) }{ 1-2z^{-1}\cos(\omega_0)+ z^{-2} }$	$\|z\| >1\,$
8	$\sin(\omega_0 n) u(n) \,$	$\frac{ z^{-1} \sin(\omega_0) }{ 1-2z^{-1}\cos(\omega_0)+ z^{-2} }$	$\|z\| >1\,$
9	$a^n \cos(\omega_0 n) u(n) \,$	$\frac{ 1-az^{-1} \cos(\omega_0) }{ 1-2az^{-1}\cos(\omega_0)+ a^2 z^{-2} }$	$\|z\| > \|a\|\,$
10	$a^n \sin(\omega_0 n) u(n) \,$	$\frac{ az^{-1} \sin(\omega_0) }{ 1-2az^{-1}\cos(\omega_0)+ a^2 z^{-2} }$	$\|z\| > \|a\|\,$